著者：だいこもん
概要：天体写真でのキャリブレーションでは、異なる画像の加減算や除算を行う。それによって画像のノイズがどのように変化するかを計算する方法を考える。公式を頭ごなしに与えるのではなく、すべて基本原理から導出することを心がけた。読者として高校レベルの微積分を理解していることを前提としている。
準備
画像の輝度値は，各フレームごとに揺らぐ確率変数である。ここでは，確率変数の平均，
揺らぎから決まるノイズの大きさ，SN比，それぞれの定義を確認する。
輝度の平均
以下では特に断らない限り，「画像」といったら，その画像とある特定のピクセルのことを言っていることにする。
ある画像の輝度を \( x \) とする。いま \( n \) 枚の画像を撮影したとして，それぞれの画像に番号 \(k=1,2,3\cdots n\) を振っておく。それぞれの画像の輝度の値を
$$
x=x_1, x_2, x_3,\cdots,x_n
$$
と書くと，これらの値は同じではなく，ある平均値の周りで揺らいでいる。このような \(x\) は確率変数と呼ばれる。\(n\) 枚の画像についての輝度値\(x\)の平均は
$$
\frac{ x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n }{n}
$$
である。平均は、輝度の「確率分布」を使って次のように書き換えることもできる。つまり，ピクセルの輝度が \(x\) という値を持つ確率を \(P(x)\) とすれば，平均値は
$$
\int_{-\infty}^{\infty} xP(x)dx~~~~~~~~~~~~(1)
$$
とも書ける。これは期待値と呼ばれるが，期待値と平均値は同じものと思って良いのか場合によっては違うのか，著者はよく理解できていない。ここでは同じものとする。以下では，確率変数 \(x\) に対してその平均を記号 \(\langle x\rangle\) でらわす。確率変数を \(“\langle”\) と \(“\rangle”\) で挟んだら，それは \(x\) に \(P(x)\) を掛けて積分せよ，という意味で使う。
ノイズの大きさ
画像の輝度の値はその平均値周りで揺らいでいるから，そのノイズの大きさを議論する場合は
画像の輝度の平均値からのズレ，つまり
$$
x-\langle x\rangle
$$
が問題になる。しかしこの値は正負両方の値を持つので，扱いづらい。そこで同じ量を
２乗して平均をとった量，つまり
$$
\langle \left(x-\langle x\rangle \right)^2\rangle
$$
を考える。これは分散と呼ばれ、今後は記号\(\sigma^2\) で書き表す。平均値の定義(1)式をつかって分散を計算すると
$$
\sigma^2=\langle x^2\rangle -\langle x\rangle ^2~~~~~~~~~(2)
$$
と変形でき，こちらの表現の方が計算する時に便利。分散の平方根
$$
\sigma=\sqrt{\langle x^2\rangle -\langle x\rangle ^2}
$$
は標準偏差と呼ばれる。この標準偏差をノイズの大きさとして定義する。
SN比
一枚の画像の輝度を\(x\)，その輝度のノイズの大きさを \(\sigma\) として，比
$$
SNR\equiv\frac{\langle x\rangle}{\sigma}
$$
はSN比と呼ばれる。このSN比に対して，常用対数をとって１０倍した値
$$
10\log_{10}\frac{\langle x\rangle}{\sigma}
$$
がよく聞く「デシベル」の定義。たとえば \(\frac{x}{\sigma}=1\) なら０デシベル，ノイズが小さくて \(\frac{x}{\sigma}=10\) なら１０デシベルと言った具合。
次に，画像同士の演算によって，ノイズがどのように伝搬（誤差の伝搬）について考えよう。
